2018年中考数学挑战压轴题(含答案) -

∵PC=3,∠PCE=45°,∠PEC=90°,

×

=3.

∴CE=PE=3

∴P(﹣3,﹣7).

如图5所示:当点P在AC上时,过点P作PE⊥y轴,垂足为E.

∵PC=3,∠PCE=45°,∠PEC=90°,

×

=3.

∴CE=PE=3

∴P(3,﹣1).

综上所述,点P的坐标为(﹣3,﹣7)或(3,﹣1)或(﹣,﹣﹣

8.如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,点E是∠BAC角平分线上一点,过点E作AE的垂线,过点A作AB的垂线,两垂线交于点D,连接DB,点F是BD的中点,DH⊥AC,垂足为H,连接EF,HF. (1)如图1,若点H是AC的中点,AC=2(2)如图1,求证:HF=EF;

(3)如图2,连接CF,CE.猜想:△CEF是否是等边三角形?若是,请证明;

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)或(﹣,

).

,求AB,BD的长;

若不是,说明理由.

【分析】(1)根据直角三角形的性质和三角函数即可得到结果;

(2)如图1,连接AF,证出△DAE≌△ADH,△DHF≌△AEF,即可得到结果; (3)如图2,取AB的中点M,连接CM,FM,在Rt△ADE中,AD=2AE,根据三角形的中位线的性质得到AD=2FM,于是得到FM=AE,由∠CAE=∠CAB=30°∠CMF=∠AMF﹣AMC=30°,证得△ACE≌△MCF,问题即可得证. 【解答】解:(1)∵∠ACB=90°,∠BAC=60°, ∴∠ABC=30°, ∴AB=2AC=2×2

=4

∵AD⊥AB,∠CAB=60°, ∴∠DAC=30°, ∵AH=AC=∴AD=∴BD=

, =2, =2

(2)如图1,连接AF, ∵AE是∠BAC角平分线, ∴∠HAE=30°, ∴∠ADE=∠DAH=30°, 在△DAE与△ADH中,

∴△DAE≌△ADH,

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∴DH=AE,

∵点F是BD的中点, ∴DF=AF,

∵∠EAF=∠EAB﹣∠FAB=30°﹣∠FAB

∠FDH=∠FDA﹣∠HDA=∠FDA﹣60°=(90°﹣∠FBA)﹣60°=30°﹣∠FBA, ∴∠EAF=∠FDH, 在△DHF与△AEF中,

∴△DHF≌△AEF, ∴HF=EF;

(3)如图2,取AB的中点M,连接CM,FM, ∵F、M分别是BD、AB的中点, ∴FM∥AD,即FM⊥AB. 在Rt△ADE中,AD=2AE, ∵DF=BF,AM=BM, ∴AD=2FM, ∴FM=AE, ∵∠ABC=30°, ∴AC=CM=AB=AM,

∵∠CAE=∠CAB=30°∠CMF=∠AMF﹣∠AMC=30°, 在△ACE与△MCF中,

∴△ACE≌△MCF, ∴CE=CF,∠ACE=∠MCF, ∵∠ACM=60°, ∴∠ECF=60°,

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∴△CEF是等边三角形.

9.已知,一条抛物线的顶点为E(﹣1,4),且过点A(﹣3,0),与y轴交于点C,点D是这条抛物线上一点,它的横坐标为m,且﹣3<m<﹣1,过点D作DK⊥x轴,垂足为K,DK分别交线段AE、AC于点G、H. (1)求这条抛物线的解析式; (2)求证:GH=HK;

(3)当△CGH是等腰三角形时,求m的值.

【分析】(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+4 (a≠0),将点A的坐标代入求得a的值即可求得抛物线的解析式;

(2)先求得直线AE、AC的解析式,由点D的横坐标为m,可求得KG、KH的长(用含m的式子),从而可证明GH=HK;

(3)可分为CG=CH,GH=GC,HG=HC三种情况,接下来依据两点间的距离公式列方程求解即可.

【解答】(1)解:∵抛物线的顶点为E(﹣1,4),

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∴设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+4 (a≠0). 又∵抛物线过点A(﹣3,0), ∴4a+4=0,解得:a=﹣1.

∴这条抛物线的解析式为y=﹣(x+1)2+4. (2)设直线AE的解析式为y=kx+b. ∵将A(﹣3,0),E(﹣1,4),代入得:∴直线AE的解析式为y=2x+6. 设直线AC的解析式为y=k1x+b1. ∵将A(﹣3,0),C(0,3)代入得:∴直线AC的解析式为y=x+3. ∵D的横坐标为m,DK⊥x轴 ∴G(m,2m+6),H(m,m+3). ∵K(m,0)

∴GH=m+3,HK=m+3. ∴GH=HK.

(3)由(2)可知:C(0,3),G(m,2m+6),H(m,m+3) ①若CG=CH,则

=

,整理得:(2m+3)2=m2,解得开平方得:

,解得:k=1,b=3,

,解得:k=2,b=6,

2m+3=±m解得m1=﹣1,m2=﹣3, ∵﹣3<m<﹣1, ∴m≠﹣1且m≠﹣3. ∴这种情况不存在. ②若GC=GH,则

③若HC=HG,则m2=3+3

(舍去).

=m+3,整理得:m2﹣6m﹣9=0,解得;m1=3﹣3

=m+3,整理得:2m2+3m=0 解得m1=0(舍去),

综上所述:当△CGH是等腰三角形时,m的值为

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