数项级数的敛散性判别法 -

?abkk?n?1n?mk??ai?1mn?in?ib??(an?1?2an?m)?3K?,

由柯西收敛原理知级数

?ab收敛.定理证毕.

nnn?1?定理14(狄立克雷判别法)如果:(i)级数

?bn?1?n的部分和Bn有界,即存在正数M,使

Bn?M(n?1,2,3...);(ii)并设数列{an}单调趋向于零,则级数

证 由于limann???ab收敛.

nnn?1??0,故对任意??0,存在N,当n?N时,就有 an??.再由条件(i)

bn?1?bn?2??bn?p?Bn?p?Bn?2M

注意这里的2M就是引理中的M,所以当n?N时,对任何自然数m,有

?ai?1mn?mn?in?ib?k?n?1??abn?1kk?2M(an?1?2an?m)?6M??

由柯西收敛原理知

?ab收敛.

nn注 在狄立克雷判别法中,特取bn?(?1)n,就是莱布尼茨判别法.因此,莱布尼茨判别法是狄立克雷判别法的特殊情况.

un?un例14 若级数?un收敛,证级数?,?nn?1nn?1n?111取bn?un,分别取an?,an?nn,an??,

nun都收敛. ?n?1n?1?证

?n,它们都是单调有界的,由阿n?1贝尔判别法知它们均收敛. 例15 若数列

?an?单调趋于零,证明:

(1) 级数

?an?1??nsinnx对任何x都收敛;

cosnx对任何x?2k?都收敛,而当x?2k?时,须根据an的性

(2) 级数

?an?1n质进一步判定.

16

证 (1) 先考虑当x?2k?时,级数

?sinnx的部分和?sinkx,由积化和差公式

?nn?1k?1sinAsinB?12?cos(A?B)?cos(A?B)?,有

2sinx2(sinx?sin2x??sinnx)

?2???sinx2sinx?sinx2sin2x??sinx?2sinnx?????????cosx2?cos3??35?2x?????cos2x?cos2x???

????cos2n?12n?1??x2n?12x?cos2x?????cos2?cos2x 从而

?nsinkx?2?1 (x?2k?)

k?12sinx2sinx2?由狄立克雷判别法知

?ansinnx收敛.

n?1当x?2k?时,级数的通项为零,级数自然收敛. (2) 由和差化积公式(x?2k?)

sinAsinB?1?sin(A?B)?sin(A?B)?

2

?12?sin(A?B)?sin(B?A)?有

2sinx2?cosx?cos2x??cosnx?

???????sin31??53?2x?sin2x?????sin2x?sin2x??????2n?12n?1??2n?11?sin2x?sin2x?????sin2x?sin2x

17

n从而

?coskx?2?1

k?12sinx2sinx 2由狄立克雷判别法知 ??ancosnx收敛.

n?1习题 选择题 (1)设0?an?1n(n?1,2,),则下列级数中肯定收敛的是( ) (A)??an;(B)n?1??(?1)nan;n?1??

(C)?an;(D)?(?1)na2n.n?1n?1(2)设un?(?1)nln??1?1??n?,则级数( ) ?????(A)?u与?u22nn都收敛;(B)nn都发散;n?1n?1?u与n?1?un?1?

(C)????u收敛而?u2nn发散;(D)u2nn收敛.n?1n?1?u发散而n?1?n?1(3)下列各选项正确的是( )

???(A)若?u2与?v2nn都收敛,则?(un?vn)2收敛;n?1n?1n?1???(B)若?u22nvn收敛,则?un与?vn都收敛;n?1n?1n?1?(C)若正项级数?u则u1n发散,n?;n?1n??(D)若级数?un收敛,且un?vn(n?1,2),则级数n?1?vn也收敛.n?1(4)若级数

??an收敛,则级数( )

n?1??(A)?ann收敛;(B)an收敛;n?1?(?1)n?1??

(C)?anan?1收敛;(D)n?an?an?1收敛.?1n?12用比较判别法判别下列级数的敛散性:

18

(1)?n?1??13n2?n?1?; (2)n?1??1?ln???;

n?n?1?n?(3)?nsinn?1?nn?1?2n?n; (4)???n?1?1/n0xdx. 21?x???设级数

?a,?b,?c,有ann?1n?1n?bn?cn,试证?an,?cn,收敛时,?bn

n?1n?1n?1敛.

4.判别下列级数的敛散性:

(n!)2(1)?; (2)n?1(2n)!?(2n)!; ?n2n?12n?arctann. ?2nn?1n2?nlnn(3)?; (4)nn?2(lnn)??5.判别下列级数的敛散性,若收敛,是绝对收敛,还是条件收敛.

(1)n(?1)?n?1??1?n; (2)21?n????n?1?cosn??; n2?n?1?lnn(3)?(?1); (4)nn?1n?sin(?n2?1).

6.设f(x)在点x?0的某一邻域内具有二阶连续导数,且

?f(x)lim?0,证明级数?fx?0xn?1?1???绝对收敛. ?n??an??1???n?1?an?1??1?1?7.设a1?2,an?1??an?证明:(1)liman存在;(2)级数?(n?1,2,).n??2?an?收敛.

8.若两个正项级数

?????un?1n和

?vn?1n发散,问

?max(u,v),?min(u,v)两级数的敛散

nnnnn?1n?1性如何?

9.讨论下列级数的敛散性.

?11(1)?; (2?)n1??)?n?3n?(lnn?2n?lnn?lnlnn? ;lnnln10.讨论下列级数的绝对收敛和条件收敛性.

(?1)n(1)?;(2)n?1n?x?sin(2nx);(3)?n!n?1?sinnx. ?nn?119

?

11.设?nan?收敛,

??n(an?1?n?an?1)收敛,证明?an也收敛.

n?1???12.设级数?(an?an?1)收敛,又?bn是收敛的正项级数,证明?anbn绝对收敛.

n?1n?1n?1 答案 1.(1)D;(2)C;(3)A;(4)D.

2. (1)发散; (2)收敛; (3)???12时收敛, ???12时发散; (4)收敛. 4. (1)收敛; (2)收敛; (3)收敛; (4)发散.

5. (1)条件收敛; (2)绝对收敛; (3)条件收敛; (4) 条件收敛. ??8.

?max(un,vn)发散,?min(un,vn)敛散性不能确定.

n?1n?19.(1)发散;(2)??0时收敛, ??0时发散. 10. (1)条件收敛; (2)绝对收敛; (3)条件收敛.

参考资料

[1] 根值审敛法的几个推论.侯亚君 高 峰.《高等数学研究》2003.NO2 [2] 柯西根值判敛法的推广.花树忠.《高等数学研究》2004.NO1. [3] D?Alembert判别法的一个推广.徐文雄 龚冬保.《数学学习》1994.NO2.

20

联系入党客服:77662525#qq.com(#替换为@)